El niño y el Cilindro

El niño y el cilindro 

Se acerca un vecino a preguntarme si podía ayudar a su hijo con una tarea de matemáticas y física. Le expliqué que mis recuerdos son pocos sobre la materia y que en estos tiempos de pandemia se dificultad las clases presenciales.

Pero el niño, vacilante, se atrevió a mostrarme las preguntas de sus tareas y no me quedo de otra que atenderlo. 

Concertamos el día y la hora. Allí estaba   en la puerta de la casa con su tapaboca y cuaderno. Fui cuidadosa en desinfectar la mesa y la silla en donde se acomodo para mostrarme una hoja de papel. Por el asunto de la pandemia, recordemos que estamos en el mes de marzo del 2021 y una nueva cepa del virus amenaza con intensidad en estos días. Con mi tapaboca, correctamente colocado, guardando la distancia mínima de un metro, por supuesto, es lo que la mesa me permite, tomo el papel entre mis manos y comienzo a leer las preguntas, luego le digo: okey, ahora muéstrame el tema. A lo que él responde: no me dieron el tema. Dije en un grito: Qué, cómo que no te dieron el tema? Y cómo pretendes que te explique sin tener una referencia?

Pronto capté mi imagen desencajada en las pupilas de aquel niño que me miraba con asombro. De inmediato entendí, porque no soy profesora, pensé, contrólate; por lo menos el tapaboca amortiguó el sonido de mi voz. 

Estamos en el patio, corría una brisa suave, pero algo caliente, siendo ya las 4 de la tarde. Traté de remediar la situación, mientras volvía a aplicar el alcohol en las manos y le pregunté: por lo menos tienes el formulario? Y el abrió sus ojos desmesuradamente  balbuceando: Qué es eso? Casi enloquecí por un instante, cálmate, cálmate me repetía mentalmente. De repente, con mucha cautela, atiné a decir: No pasa nada. Esa expresión de terror, desapareció de aquel niño, claramente visible en sus ojos, a pesar del tapaboca, recuerdo muy bien que, su rostro, inspiraba ternura debido a su edad temprana, comprendí que el problema no era él, era yo, definitivamente, requería indagar a través de la conversación el nivel de información que manejaba éste chico. De esta manera, me enteré que sus clases, supuestamente por Internet, consistían en las investigaciones que el hacía, la única orientación era una lista con los temas. La profesora dejaba en la cartelera varios ejemplos y un lote de preguntás, algunos padres y aveces niños, le sacan una foto con el celular para resolverlas y entregarlas en la fecha establecida.

Luego de una breve conversación, vi al niño de manera diferente. Triste situación en la que se encontraba; ni yo, con toda la experiencia era capaz de determinar en dónde se encuentra parado él, para más, que el pobre, pudiera tener, ni una mínima idea de sus conocimientos. Procedí a leer la primera pregunta, no tarde mucho en voltear la mirada hacia el cielo, un cielo despejado, con algunas nubes tan blancas y brillantes que parecían nublar mi visión.

El niño rápidamente temió que pasaba algo y me increpó: Qué?

A lo que respondí en tono meloso: No entiendo tu letra. Pero no pasa nada. Te voy a leer y tú me ayudas a traducir. Pregunta número 1, calculé el área de un cilindro que tiene un diámetro de 25 centímetros? 

Estás seguro que la palabra es cilindro, no será: círculo?.

El niño leé, algo temeroso y expresa, con total seguridad: Sí, es un cilindro. 

A lo que rebato de inmediato, entonces te faltan datos para resolver el problema. Sabés cómo resolver el área de un círculo?.

Titubeando, mueve la cabeza de lado a lado lentamente. Okey, digo y continúo: seguramente, debe estar contemplado en los ejemplos. Dónde tienes los ejemplos?, Interrogue.

Casi en voz inaudible, mientras revisa los papeles y hasta el cuaderno, responde: Se me quedo en la casa.

Qué?, Volví a gritar, gracias al tapaboca, que ahogo mi chillido, no alarme al vecindario, como siempre la mirada tierna a punto de llorar, me llevo a la cordura. Estos, tiempos de Pandemia, son duros para todos. Así, que, atiné a decir: 

Para resolver el área de un círculo, vamos a requerir de unas ecuaciones que nos aprenderemos y pasarán a ser parte de nuestro formulario. Comencemos por la letra pi.

De inmediato emitió un grito de alegría, comentando: 3,14; su voz apenas audible, con mucho temor de equivocarse. Pero no pude evitarlo y terminé diciendo:

3,141516… No no lo dije completo, pues ese número no tiene fin, para mis límites de conocimiento. Al ver la expresión de desilusión en su rostro, medité, murmurando:

y ahora cómo solucionas esto. Se me ocurrió explicarle lo siguiente: 

Como referencia, para cálculos sencillos basta con usar 3,14. Tal cual como te lo aprendiste. Desaparece la tensión y me pregunta:

Por qué lo llaman pi?

Que broma, ya está, ya comenzó a vengarse por mi actitud hacia él, pero, reflexioné y vislumbre, en sus gestos, una auténtica inquietud por «pi» por eso, le dije: 

Como existe el alfabeto español, también existen otros alfabetos de otras lenguas y algunas muy antiguas. Entre tantos alfabetos se encuentra el Griego, allí tenemos un símbolo llamado «pi» que se dibuja como una cajita invertida sin tapa y le mostré algo así: π, a esta letra se le asignó el número 3,14…, siendo ese número el resultado de experiencias con la cuerda del círculo. 

El niño está bostezando, pero aún así, se mantenía intrigado y haciendo caso omiso a sus bostezos, continué: imagínate un anillo, el anillo es la circunferencia, es una longitud, si colocas un hilo formando el anillo  al abrirlo vas a tener el largo de la circunferencia y esté se relaciona con el diámetro, siendo el diámetro la distancia entre dos puntos de la circunferencia que pasa por su centro (la relación entre circunferencia y diámetro se conoce como geometría euclidiana)

Decidí resolver el ejercicio cómo un círculo en donde el área corresponde a la fórmula pi por el radio al cuadrado (A=π r^2. Que se leé: Área es igual a pi por el radio elevado al cuadrado). Y le dije: Es un círculo, no una circunferencia, no un cilindro. Ya el chico, no podía más, se encontraba super agotado. Se escuchó una voz cercana que me dice: 

Llevas dos horas, ten piedad de ese chico.

Antes de que se quedara durmiendo sobre la mesa lo despedí diciéndole que regresara mañana y ese mañana se hizo hoy, luego ayer y pasaron varios días. 

Cuando estaba segura de que no volvería, allí estaba, parado en la entrada. Qué pasó?, pregunté. Me responde, envalentonado: 

Ya hice la tarea y la entregué y sí era un cilindro. Bueno, bueno, respondí y proseguí: 

Quiere decir que faltaba un dato, qué dato era?.

Él responde: No, no faltaba ningún dato. De inmediato añade: era un cilindro, ella me lo dijo. 

Quién, pregunté y  en su ingenuidad me responde: 

Ella me hizo la tarea. A lo que repliqué: 

Entonces, no te ayudo. Enfadado me grita: 

Por qué dices que no me ayudó?. A lo que conteste: 

Pero, no te enfades, me mal interpretas, no es que no te quiere ayudar, seguramente, ella lo hizo con cariño, pero la idea es que la tarea la hagas tú. Me comprendes?, por lo menos te la explicó? En ese momento su rostro se transformó, recordó porque estaba parado en la puerta y me confiesa en tono conciliatorio: 

No, no me explicó, porque no tenía tiempo, por eso vengo, para que me explique, por favor. Y escucho una voz lejana decir: 

Ese niño debe ser masoquista  y no era la mía, no era la del niño, era la voz calmada que se preocupaba por el niño.

Y volvemos otra vez, con el bendito cilindro. Tapaboca, alcohol, cloro, distancia, por sea caso, con la nueva cepa del virus, es necesario extremar medidas, están muriendo jóvenes, se escucha decir. Ahora el cielo se ve gris, un gris brillante, el sol se niega a sucumbir, todavía quedan unas horas antes del anochecer y el patio se siente fresco a pesar del calor, por los árboles que juegan con el viento. 

Logré decir: Retomemos el asunto que nos aqueja; mira este trozo de pabilo, vamos a formar un anillo con el, de qué te ríes?. Pon algo de tu imaginación y supongamos que es una circunferencia perfecta, olvida que está torcida, no le pongas cuidado a los detalles.

Mientras habló con él, escucho el alboroto de los niños en la calle, detrás de mí; medio me volteó y por el rabillo del ojo logro distinguirlos, entre las rejas de la cerca, unos con el tapaboca en la frente, otros en la barbilla y los más atrevidos lo llevan en el cuello. Me doy cuenta que le hacen muecas y él evita mirarlos, pero una sonrisa discreta se asoma a sus ojos.

Le digo: Te están saboteando la clase y en ese momento, suelta la carcajada. 

Definitivamente, esté chico me parece muy inteligente. Retomando el tema dije: En qué quedamos?. Sí, ya recuerdo, la cuerda y la circunferencia, sabes?

Una vez que logró su atención, prosigo: 

El diámetro es dos veces el radio (2 r, se leé: dos por el radio), en otras palabras la mitad del diámetro es el radio (r = d÷2, se leé: el radio es igual al diámetro entre dos, que es lo mismo que diámetro por un medio d(1/2), existiendo varias formas de expresar lo mismo). 

Él me señala la cuerda, el anillo y la tapa. Separé la cuerda del ovillo, cortando un trozo de pabilo e intente dibujar una circunferencia con el  pabilo, luego, abrí el pabilo, que formaba una circunferencia y quedó como una línea recta, después la coloque bordeando el anillo y formó una circunferencia nuevamente, repetí procedimiento, quedando en línea recta, después pasé el hilo por el borde de la tapa y pregunté:

Cuál es la diferencia?, él contesta: 

El tamaño. Claro está.

Muy bien, certifique y seguí hablando: de esa relación entre tamaños y diámetros nace Pi, que es una constante matemática (π = a la longitud de la circunferencia entre su diámetro). Por esa razón la longitud de la circunferencia es igual a su diámetro por Pi (C = d π   se leé: el perímetro de la circunferencia es igual a su diámetro por pi)

Ahora bien, además puedes, observar que el trozo de pabilo (cabuya, hilo) es flexible, el anillo es hueco y tiene un borde, pero la tapa es una circunferencia rellena, por lo tanto existen fórmulas para obtener el valor del perímetro, me interrumpe: Perímetro?.

A lo que respondo: El perímetro, es la longitud del contorno de una forma, para los círculos son las circunferencias, para los cuadrados son la suma de sus lados y así sucesivamente. Como te explicaba, en el formulario debes contemplar fórmulas para los perímetros, las áreas y los volúmenes. 

Ahora sí, el perímetro de un círculo es igual a pi por dos veces el radio (C = π 2 r, se leé: perímetro del círculo o circunferencia es igual a pi por dos por el radio) recordando que el diámetro es dos veces el radio (d=2r). Veamos la fórmula del área del círculo que es igual a pi por el radio elevado al cuadrado (A=π r^2), muy bien , es tiempo de reflexionar, estamos de acuerdo en que esa es la superficie del círculo, indague: él, confirma con la cabeza, entonces, le interrogo: Qué formula entregaste en la tarea?. Abre los ojos con sorpresa y atina a balbucear: 

Ella se equivocó, la maestra se equivocó. No, respondí de inmediato y remate: Tú te equivocaste, pero mejor así, porque estás razonando  esa es la ganancia de equivocarnos. Ahora te queda claro que falta un dato?. 

vamos a calcular la superficie de un cilindro para eso debemos conocer al cilindro. Me fijo en sus manos, rígidas; quiere decir algo, no dice nada, pero su mirada lo delata, más, sin embargo, continúo:

Qué forma tiene el cilindro?, qué figura tiene la base?. 

Él contestá, en murmullo, a través del tapaboca: Una circunferencia. Y añade en voz baja: Estoy aprendiendo, por qué tengo la culpa?

Le aclaro, imagínate que el cilindro tiene una tapa en su base entonces, su base es un círculo por lo tanto una parte de su superficie es el área del círculo y si es una lata de refresco tiene una tapa superior, por lo tanto, son dos círculos y entre las dos tapas hay una superficie más, que debemos calcular; llamemos altura a la distancia que separa a las dos tapas . Al quitar las dos tapas y abrir la lata a lo largo de su altura, tenemos la figura de un rectángulo. Tomé una hoja de papel y le dimos la forma de un cilindro y luego la abrí lentamente para que captará la figura del rectángulo cuya altura es la misma del cilindro y la base o ancho es igual a la circunferencia del círculo del cilindro, se visualiza claramente verdad?, Le señale:

Me deja atónita con un: No entiendo 

Con cierta ironía, le aseguro: Que vas a estar entendiendo, si estas pensando en otros asuntos. Y él me replica:

No entiendo, por qué el error de la maestra, es mi culpa, si apenas estoy aprendiendo? 

Lo he venido diciendo, eres un chico muy inteligente, porque analizas. Vamos a razonar las circunstancias: 

La maestra se equivocó, supongamos, tú lees y verificas, forma parte del aprendizaje. Tienes fórmulas para círculo y cilindro, son iguales?, te das cuenta que «no».

Veámoslo desde otro punto de vista: Copiaste mal la pregunta, nuevamente, tienes fórmulas distintas para el círculo y el cilindro.

Sí, el error es de la maestra, amablemente, hazle saber tú inquietud, sólo ella puede corregir sus errores.

Si le hechas la culpa a otros, difícilmente podrás reconocer tus equivocaciones y mucho menos corregirlos. No te dejes cegar por tu verdad, la verdad es relativa, es muy esquiva. En el mundo de la ciencia, todo depende del punto de vista del observador.

De nuevo los bostezos, no tardaremos en escuchar una voz lejana que nos recordará, que debemos descansar. 

Él me dice:

Estoy confundido, me doy cuenta que el área del círculo es distinta a la superficie del cilindro, porque el cilindro tiene dos círculos y un rectángulo que separa a los dos círculos. Lo interrumpo de inmediato:

Estás clarísimo, es así, no estás confundido. Y muy contento me dice:

Le voy a decir a la maestra que se equivocó.

Me lleve las manos a la cabeza, respiré profundo, mientras veo un cielo nublado y brillante, logró decir, lentamente:

Yo, creo, que por hoy; ya he tenido suficiente.  

La voz, de un tierno niño, se escucha, estremeciendo la tarde:

No quiero irme sin resolver la superficie del cilindro.

Ejercicio del cilindro

Cuál es la superficie (completa) del cilindro, si el perímetro de su circunferencia es de 30 cm y su altura es cinco veces el radio?

Respuesta

1) Fórmula

S=2π r (h + r)

2) Incógnitas

Superficie (S) =?

3) Datos

Perímetro (circunferencia)

C = 30cm

Altura h = 5 r (cinco veces el radio)

4) Análisis

Condiciones teóricas que se deben cumplir para que la fórmula arrojé resultados realistas: 

El número 2 es constante,

π (pi) es constante igual a 3,14

El radio es la mitad del diámetro (r=d/2) o lo que es lo mismo r = d ÷ 2

Recordando que el perímetro o la circunferencia se resuelve así:

C = 2πr

C = π2r

(C/π) = 2r

(C/π) = d

Ya que: d = 2r

El diámetro es igual al perímetro de la circunferencia entre pi (esté es el secreto de la circunferencia, proporcionalidad) 

Ya que, pi es la relación de la circunferencia con su diámetro: π = (C/d) por lo tanto

d = C/π

Se reemplaza π por 3,14

d = C/3,14 

Como C tiene la magnitud de 30cm, se tiene:

d = 30cm/3,14 

d = 9,55cm

De esta manera, tenemos: 

r = d/2

r = 9,55cm/2 

r = 4,77cm

La altura, nos la da el enunciado del problema: su altura es cinco veces el radio, lo que implica:

h = 5r

r = 4,77 cm

h = 5(4,77cm)

h = 23,85cm

5) Resolver fórmula

S=2π r (h + r)

S=2π (4,77cm)(23,85cm + 4,77cm)

S=2π (4,77cm) (28,62cm)

S=2π (136,51cm^2)

S=2(3,14) (136,51cm^2)

S= 2 (428,64cm^2)

S= 857,28cm^2

 Comprobando

Rectángulo

A= (L)h

A= (2πr)h

A= (2(3,14) (4,77cm)) h

A= 6,28(4,77cm) h

A= 29,95 cm (23,85cm)

A= 714,30cm^2

Círculo

 A= π r^2 

 A= 3,14 r^2 

 A= 3,14(4,77cm)^2 

 A= 3,14(4,77cm)(4,77cm)

 A= 3,14(22,75) cm^2 

 A= 71,43cm^2 

Son dos círculos

A=2(71,43)cm^2 

A=142,86cm^2

Superficie de las bases más la superficie lateral del cilindro:

A= 714,30cm^2 + 142,86cm^2

A= 857,26cm^2

La próxima vez, traer las fórmulas.

Ya va, un momento 

S= 857,28cm^2

es diferente a

 A= 857,26cm^2

Ese es otro tema. El redondeo suele ocurrir por ese motivo.